Q4.1 – Grundlagen der technischen Informatik

Ein Bitmuster ist zunächst nur eine Folge aus 0 und 1. Erst durch eine vereinbarte Interpretation wird daraus eine Zahl, ein Zeichen, ein Wahrheitswert oder ein Steuerzustand. Deshalb ist die Umrechnung zwischen Dezimal-, Dual- und Hexadezimalsystem nicht nur Rechentechnik, sondern Modellierung.

Dualsystem als Stellenwertsystem

Im Dualsystem stehen nur die Ziffern 0 und 1 zur Verfügung. Die Stellenwerte sind Potenzen der Basis 2. Die Bitfolge 1011 kann ohne Vorzeichen als 1·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20 gelesen werden und ergibt dann 11 im Dezimalsystem.

Hexadezimalsystem als kompakte Schreibweise

Das Hexadezimalsystem nutzt die Basis 16. Weil 16 = 24 gilt, entspricht eine Hexadezimalstelle genau einer Vierergruppe von Bits. Dadurch lassen sich längere Bitfolgen kompakter notieren, ohne die technische Nähe zur Binärdarstellung zu verlieren.

Dualaddition funktioniert spaltenweise wie schriftliche Addition im Dezimalsystem. Der Unterschied liegt in der Basis: 1 + 1 ergibt 0 mit Übertrag 1. Dieser Übertrag ist später das Verbindungssignal zwischen mehreren Volladdierern.

  0110
+ 0011
------
  1001

Zweierkomplement

Das Zweierkomplement ist die zentrale Brücke zwischen Zahlendarstellung und Addierwerk. Eine negative Zahl entsteht, indem alle Bits der positiven Darstellung invertiert und anschließend 1 addiert wird. Dadurch kann Subtraktion als Addition des Zweierkomplements modelliert werden.

Logische Gatter realisieren Boolesche Verknüpfungen technisch. Ein Gatter nimmt Eingangssignale entgegen und erzeugt daraus ein Ausgangssignal. Damit wird eine logische Aussage zu einer Schaltfunktion: Für jede mögliche Eingangskombination ist festgelegt, welcher Ausgangswert entsteht.

Ein Schaltnetz besitzt keinen Speicher. Der Ausgang hängt nur von den aktuellen Eingangswerten ab. Deshalb lässt sich ein Schaltnetz analysieren, indem man alle möglichen Eingangskombinationen durchgeht und für jede Kombination den Ausgangswert bestimmt.

1. Eingangsvariablen bestimmen.
2. Zwischensignale benennen.
3. Gatterweise auswerten.
4. Ausgangswert notieren.
5. Wahrheitstabelle vollständig füllen.
6. Schaltfunktion formulieren.

Dieser Abschnitt erinnert an eine frühere D-Book-Bewegung: Bei SQL wird eine Abfrage gegen Daten ausgeführt; hier wird ein Schaltnetz gegen alle Eingangskombinationen ausgeführt. In beiden Fällen entsteht Erkenntnis durch Ausführen, Beobachten und Begründen.

Beim Entwickeln eines Schaltnetzes wird eine Anwendungssituation formalisiert. Zuerst werden Eingänge, Ausgänge und Bedingungen festgelegt. Danach entsteht eine Wahrheitstabelle. Aus allen Zeilen mit Ausgang 1 werden Minterme gebildet. Die Oder-Verknüpfung dieser Minterme ergibt die disjunktive Normalform.

Zeile mit Ausgang 1:
a = 0, b = 1, c = 0

Minterm:
¬a ∧ b ∧ ¬c

DNF:
Minterm_1 ∨ Minterm_2 ∨ ...

Die DNF ist systematisch, aber häufig nicht technisch günstig. Sie kann viele Terme und damit viele Gatter erzeugen. KV-Diagramme machen benachbarte Minterme sichtbar. Wenn sich Minterme nur in einer Variablen unterscheiden, kann diese Variable wegfallen. Das Ergebnis ist eine vereinfachte, aber äquivalente Schaltfunktion.

1. Variablenreihenfolge festlegen.
2. KV-Diagramm mit Gray-Code-Nachbarschaft aufbauen.
3. Einsen aus der Wahrheitstabelle eintragen.
4. Möglichst große Blöcke mit 2, 4, 8 oder mehr Feldern bilden.
5. Je Block konstante Variablen ablesen.
6. Terme zur disjunktiven Minimalform zusammensetzen.
7. Vereinfachte Funktion mit der ursprünglichen Wahrheitstabelle vergleichen.

Der Volladdierer verbindet die Logik der Gatter mit der Arithmetik der Bitmuster. Er addiert zwei Eingangsbits und einen eingehenden Übertrag. Als Ausgänge entstehen die Ergebnisstelle und der neue Übertrag. Mehrere Volladdierer können hintereinandergeschaltet werden, sodass aus einstelliger Bitaddition ein mehrstelliges Addierwerk entsteht.

Eingänge:  a_i, b_i, c_i
Ausgänge:  s_i, c_{i+1}

s_i     = a_i ⊕ b_i ⊕ c_i
c_{i+1} = 1, wenn mindestens zwei Eingänge 1 sind

Schaltnetze reagieren nur auf aktuelle Eingänge. Schaltwerke besitzen zusätzlich einen gespeicherten Zustand. Flip-Flops bilden dafür die elementare Grundlage: Sie speichern ein Bit und machen damit aus reiner Kombinatorik eine zeitabhängige Struktur.

Timing-Diagramm

Ein Timing-Diagramm zeigt Eingang D, Taktsignal, Ausgang Q und den invertierten Ausgang ¬Q über der Zeit. Es hilft dabei, die Frage zu trennen, welcher Wert anliegt, wann er gespeichert wird und wann er am Ausgang sichtbar wird.